Леонид Куравлев появился на свет 8 октября 1936 года в Москве. Его отец, Вячеслав Яковлевич, был слесарем на авиационном заводе, мать, Валентина Дмитриевна, работала парикмахером. В 1941 году, по ложному обвинению семью Куравлевых выслали на Север, где они прожили несколько лет, но позже вновь вернулись в Москву.

В школе Леониду с трудом давались точные науки – математика, физика — именно поэтому он решил выбрать вуз, где не надо было сдавать эти предметы на экзаменах. Так его выбор пал на ВГИК, но поступить туда удалось только со второй попытки, в 1955 году. Сниматься в кино Куравлев начал, учась на старших курсах. Он сыграл в курсовой короткометражке режиссеров Андрея Тарковского и Александра Гордона «Сегодня увольнения не будет»,а следующем, выпускном году, дебютировал на большом экране в историко-революционном фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин», а также снялся в дипломной короткометражке Василия Шукшина «Из Лебяжьего сообщают».

Первую большую роль после которой Куравлева начали узнавать, он также сыграл у Шукшина — в комедии «Живет такой парень», а в следующем году уже в качестве постоянного творческого партнера режиссера, снялся в его драме «Ваш сын и брат». А всесоюзной знаменитостью актер стал после роли Хомы Брута в первом советском фильме ужасов «Вий» по повести Гоголя.
Наступившие 70-е годы стали временем расцвета популярности актера, именно в это десятилетие он сыграл сразу несколько своих «классических» ролей. Первой из них можно считать обаятельнейшего вора-домушника Жоржа Милославского в комедии Леонида Гайдая «Иван Васильевич меняет профессию», за которой последовал культовый образ сантехника Афанасия из комедии Георгия Данелия «Афоня», ставший визитной карточкой Куравлева.

Почти не снижал темпов работы Куравлев и в 80-е, снимаясь иногда в шести-семи фильмах в год. Среди самых ярких из них – детективы «Ищите женщину», «ТАСС уполномочен заявить», "Шерлок Холмс и доктора Ватсон: Двадцатый век начинается", семейная сказка «На златом крыльце сидели», комедия «Раз на раз не приходится» и даже голливудский блокбастер «Рокки 4», где Куравлев сыграл президента СССР.

В последние годы Леонид Вячеславович чаще появляется в ролях второго плана, одним своим присутствием придавая любому фильму или сериалу обаяние классического советского кинематографа. Самая свежая его работа на сегодня — роль барина в сказочной ленте «Книга мастеров» в 2009 году.